Я написал программу на BC++B. Она запускается на моем компьютере - но не хочет запускаться на другом. Что делать??

Выполните следующие действия:
1. Зайдите в меню Project/Options
2. На вкладке Compiler выбирите Release
3. На вкладке Packages убираете флажок "Build with runtime packages"
4. На вкладке Linker убираете Use Dynamic RTL
5. Компилируете.
В случае если проблема не уходит - необходимо проверить зависимости файла. Для этих целей можно использовать либо утилиту tdump
Пример использования:

C:\Program Files\Borland\CBuilder6\Bin\tdump.exe test.exe > import.txt
//Пример вывода
Imports from KERNEL32.DLL //Название библиотеки, которая импортируется
                  FreeLibrary // функция которая используется
                  GetCommandLineA
                  GetModuleHandleA
                  GetProcAddress
                  GetProcessHeap
                  GetTickCount
                  HeapAlloc
                  HeapFree

Imports from GDI32.DLL
                  CreateHalftonePalette
                  CreatePalette
                  DeleteObject
                  GetDeviceCaps
                  GetPaletteEntries

Imports from USER32.DLL
                  GetDC
                  ReleaseDC

...

Imports from STLPMT45.DLL
    (ord. =   64)// Функция импортируется по ординалу а не по имени
    (ord. =    2)
    (ord. =  467)
    (ord. =  202)
   ...

либо любой другой подобный инструмент